확률변수의 기댓값과 분산

이산형 분포의 기댓값 

 x : 이산형 확률변수 

 f(x) : 확률 함수 

 ∑|x|f(x) < ∞ 이면 'x는 기댓값이 존재한다'라고 하고 E(x) = ∑|x|f(x) 를 x의 기댓값이라 한다.

 

              (ex) 

 

연속형 분포의 기댓값

x : 연속 확률변수 

f(x) : 확률함수

∫|x|f(x) dx <∞ 이면 'x는 기댓값이 존재한다'라고 하고 E(x) = ∫|x|f(x) dx를

 

기댓값의 성질

확률변수 x는 E(x)가 존재할 때, 모든 a, b는 상수

 

THM

확률변수 X1, X2가 서로 독립이면 E( X1, X2 ) = E(X1) E(X2)이다.

                (증명)

 

분산

확률변수 x는 E(x)=m를 가질 때, E[ (x-m)^2 ]이 존재하면 이 값을 x의 분산이라 한다. 

var(x), v(x) 등으로 표기한다.

 

분산의 성질

모든a,b는 상수

 

var(ax+b) = a^2 var(x) 

     pf) var(ax+b) = E[ { (ax+b) - E(ax+b)^2 }^2 ] = E[ {ax+b - aE(x)+b}^2 ]  = E[ { a(x-E(x) }^2 ] = a^2E[ { x-E(x) }^2 ]=a^2 var(x)

 

 

var(x+b) = var(x)

 

var(-x) = var(x)

 

THM 

1) var(x) = E(x^2) - [E(x)]^2

 

(pf)

 

2) 확률변수 x1,x2가 서로 독립이면 var(x1+x2) = var(x1)+var(x2) 이다. 

n으로 확장하면 x1, x2, x3, .......... ,xn이 서로 독립이면, var(x1+x2+x3+ ..........+xn) = var(x1)+var(x2)+var(x3) + ...... +var(xn) 

 

(pf)