다변량 분포

다변량 분포 : 확률 실험에서 어떤 사건이 두 개 이상의 확률변수들에 의해 표현되는 경우

(ex) 신체조건 -> 키, 몸무게  

      체력검사 -> 달리기, 공던지기, 매달리기

두 개 이상의 확률변수들의 결합 확률 분포를 다변량 분포라고 한다. 특히, 2개의 확률변수의 결합 확률 분포를 이변량 분포라고 한다. 

 

이변량 확률변수 : S : sample space , 모든 s∈S 

두 개의 확률변수 X, Y에 대해서 X=X(s) , Y= Y(s)라 할 때 (X, Y)를 2 변량 확률변수라고 한다. 

이때, X(s) = x, Y(s) = y , x, y∈실수 이면 (X, Y)를 2 변량 이산 확률변수라고 하고

X(s)∈I1(구간), Y(s)∈I2(구간) 이면 (X, Y)를 2 변량 연속 확률변수라고 한다. 

 

이변량 이산형 결합 분포 

2 변량 이산 확률변수 (X, Y)가 각각 X1, X2,....... Y1, Y2........ 의 값을 취할 때 (Xi , Yi)에 그의 확률 P(Xi, Yi) = P(X=xi, Y=yi)를 대응시키는 관계를 X, Y의 이산형 결합 확률분포라 하고 이때 f(x, y)=P(xi, yi)를 X, Y의 결합 확률 함수라 한다.

 

결합 확률 함수의 성질

 

 

 

이변량 이산형 결합 분포 예 동전을 3번 던지는 실험 

      확률변수 X : 두 번째 던졌을 때까지의 앞면의 개수 

      확률변수 Y : 세 번째 던졌을 때까지의 앞면의 개수 

 

 

 

이변량 연속형 결합 분포 

 

2 변량 연속 확률변수(X, Y)가 취하는 값 (x, y)가 어떤 영역 A에 속하는 확률을 P(A)라고 할 때, P(A) = ∬f(x, y) dxdy로 나타내는 f(x, y)가 존재하면 확률변수 (X, Y)는 연속형 결합 확률분포를 가진다고 하고 이때 f(x, y)를 결합 확률 밀도 합수라고 한다.

 

결합 확률 밀도 함수의 성질

 

 

 

결합 확률 밀도 함수의 예

 

한 점 (X, Y)를 원 x^2 + y^2 ≤ 1의 내부 S로부터 무작위로 뽑을 때(뽑힐 확률은 일정) 결합 확률 밀도 함수 

 

 

 

결합 분포 함수의 성질